Aula 12 - Resposta a Degrau RL e RC.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Resposta a Degrau\n",
    "Jupyter Notebook desenvolvido por [Gustavo S.S.](https://github.com/GSimas)\n",
    "\n",
    "## Resposta a um degrau de um circuito RC\n",
    "\n",
    "Quando a fonte CC de um circuito RC for aplicada repentinamente, a fonte de\n",
    "tensão ou de corrente pode ser modelada como uma função degrau, e a resposta\n",
    "é conhecida como resposta a um degrau.\n",
    "\n",
    "**A resposta a um degrau de um circuito é seu comportamento quando a\n",
    "excitação for a função degrau, que pode ser uma fonte de tensão ou de\n",
    "corrente.**\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large v(0^-) = v(0^+) = V_0}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "A resposta completa (ou resposta total) de um circuito\n",
    "RC à aplicação súbita de uma fonte de tensão CC, partindo do pressuposto de\n",
    "que o capacitor esteja inicialmente carregado, é dada como:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large v(t) =\n",
    "\\begin{cases}\n",
    "V_0, & t < 0\n",
    "\\\\V_S + (V_0 - V_S)e^{-t/ \\tau}, & t > 0\n",
    "\\end{cases}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/3obDdyf.png)\n",
    "\n",
    "Se considerarmos que o capacitor esteja inicialmente **descarregado**, fazemos\n",
    "que V0 = 0\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large v(t) =\n",
    "\\begin{cases}\n",
    "0, & t < 0\n",
    "\\\\V_S(1 - V_S)e^{-t/ \\tau}, & t > 0\n",
    "\\end{cases}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "que pode ser escrito de forma alternativa como:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large v(t) = V_S(1 - e^{-t / \\tau})u(t)}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "A corrente através do capacitor é obtida usando-se i(t) = C dv/dt. Obtemos:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large i(t) = \\frac{V_S}{R} e^{-t / \\tau}u(t)}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/nYKml9V.png)\n",
    "\n",
    "Assim:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large v = v_n + v_f}\n",
    "\\\\{\\Large onde}\n",
    "\\\\{\\Large v_n = V_0 e^{-t / \\tau}}\n",
    "\\\\{\\Large v_f = V_S(1 - e^{-t / \\tau})}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "Em palavras:\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/KMcMJ15.png)\n",
    "\n",
    "**Resposta transiente é a resposta temporária do circuito que se extinguirá\n",
    "com o tempo.**\n",
    "\n",
    "**Resposta em regime estacionário é o comportamento do circuito um\n",
    "longo tempo após a excitação externa ter sido aplicada.**\n",
    "\n",
    "Seja lá qual for o modo que a examinamos, a resposta completa pode ser escrita como:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large v(t) = v(\\infty) + [v(0) - v(\\infty)]e^{-t / \\tau}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "Portanto, encontrar a resposta a um degrau de um circuito RC requer\n",
    "três coisas:\n",
    "\n",
    "1. A tensão v(0) no capacitor\n",
    "2. A tensão final v (∞) no capacitor\n",
    "3. A constante de tempo τ"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Exemplo 7.10**\n",
    "\n",
    "A chave da Figura 7.43 se encontra na posição A há um bom tempo. Em t = 0, a\n",
    "chave é mudada para a posição B. Determine v(t) para t > 0 e calcule seu valor em\n",
    "t = 1 s e 4 s.\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/h4SqLxR.png)"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": 1,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Exemplo 7.10\n",
      "Tensão v(t): 30 - 15.0*exp(-0.5*t) V\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Exemplo 7.10\")\n",
    "from sympy import *\n",
    "\n",
    "m = 10**(-3)\n",
    "k = 10**3\n",
    "C = 0.5*m\n",
    "\n",
    "Vc0 = 24*5*k/(3*k + 5*k) #tensao no capacitor em condicao inicial v0\n",
    "Vcf = 30 #tensao no capacitor em condicao final \n",
    "\n",
    "tau = 4*k*C\n",
    "\n",
    "t = symbols('t')\n",
    "\n",
    "v = Vcf + (Vc0 - Vcf)*exp(-t/tau)\n",
    "\n",
    "print(\"Tensão v(t):\",v,\"V\")"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Problema Prático 7.10**\n",
    "\n",
    "Determine v(t) para t > 0 no circuito da Figura 7.44. Suponha que a chave esteja aberta\n",
    "há um longo período e que é fechada em t = 0. Calcule v(t) em t = 0,5.\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/kRUa1Sv.png)"
   ]
  },
  {
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   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
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     "text": [
      "Problema Prático 7.10\n",
      "Tensão v(t): 9.375 + 5.625*exp(-2.0*t) V\n",
      "Tensão v(0.5): 11.4443218565894 V\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Problema Prático 7.10\")\n",
    "\n",
    "C = 1/3\n",
    "\n",
    "Vc0 = 15\n",
    "Vcf = (15 + 7.5)*6/(6 + 2) - 7.5\n",
    "\n",
    "R = 6*2/(6 + 2)\n",
    "tau = R*C\n",
    "\n",
    "v = Vcf + (Vc0 - Vcf)*exp(-t/tau)\n",
    "print(\"Tensão v(t):\",v,\"V\")\n",
    "\n",
    "print(\"Tensão v(0.5):\",v.subs(t,0.5),\"V\")"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Exemplo 7.11**\n",
    "\n",
    "Na Figura 7.45, a chave foi fechada há um longo tempo e é aberta em t = 0. Determine\n",
    "i e v durante todo o período.\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/63bH1Dm.png)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 22,
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   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
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     "text": [
      "Exemplo 7.11\n",
      "Tensão v0: 10 V\n",
      "Tensão v(t): 20.0 - 10.0*exp(-0.6*t) V\n",
      "Corrente i0: -1.0 A\n",
      "Corrente i(t): 1.0 + 1.0*exp(-0.6*t) A\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Exemplo 7.11\")\n",
    "\n",
    "C = 1/4\n",
    "\n",
    "Vc0 = 10\n",
    "Vcf = 30*20/(20 + 10)\n",
    "\n",
    "R = 10*20/(10 + 20)\n",
    "tau = R*C\n",
    "\n",
    "print(\"Tensão v0:\",Vc0,\"V\")\n",
    "\n",
    "v = Vcf + (Vc0 - Vcf)*exp(-t/tau)\n",
    "print(\"Tensão v(t):\",v,\"V\")\n",
    "\n",
    "i0 = -10/10\n",
    "print(\"Corrente i0:\",i0,\"A\")\n",
    "\n",
    "i2 = v/20 + C*diff(v,t)\n",
    "print(\"Corrente i(t):\",i2,\"A\")"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Problema Prático 7.11**\n",
    "\n",
    "A chave na Figura 7.47 é fechada em t = 0. Determine i(t) e v(t) para todo o período.\n",
    "Observe que u(–t) = 1 para t < 0 e 0 para t > 0. Da mesma forma, u(–t) = 1 – u(t).\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/hHvg58p.png)\n"
   ]
  },
  {
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   "execution_count": 39,
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   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
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     "text": [
      "Problema Prático 7.11\n",
      "Tensão v(t) para t < 0: 20 - 20*exp(-1.0*t) V\n",
      "v0: 10.0000000000000 V\n",
      "Corrente i(t) para t < 0: 4*exp(-1.0*t) A\n",
      "i0: 0\n",
      "Tensão v(t) para t > 0: 10.0 + 10.0*exp(-1.5*t) V\n",
      "Corrente i(t) para t > 0: -2.0 - 2.0*exp(-1.5*t) A\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Problema Prático 7.11\")\n",
    "\n",
    "C = 0.2\n",
    "\n",
    "vs = 20\n",
    "tau = 5*C\n",
    "\n",
    "#Para t < 0\n",
    "\n",
    "v1 = vs*(1 - exp(-t/tau))\n",
    "print(\"Tensão v(t) para t < 0:\",v1,\"V\")\n",
    "v0 = v.subs(t,oo)\n",
    "print(\"v0:\",v0,\"V\")\n",
    "\n",
    "i1 = (20 - v1)/5\n",
    "print(\"Corrente i(t) para t < 0:\",i1,\"A\")\n",
    "i0 = i1.subs(t,oo)\n",
    "print(\"i0:\",i0)\n",
    "\n",
    "#Para t > 0\n",
    "\n",
    "i2 = 3*10/(5 + 10)\n",
    "Vcf = i2*5\n",
    "\n",
    "R = 5*10/(5 + 10)\n",
    "tau = R*C\n",
    "\n",
    "v = Vcf + Vcf*exp(-t/tau)\n",
    "print(\"Tensão v(t) para t > 0:\",v,\"V\")\n",
    "\n",
    "i = -v/5\n",
    "print(\"Corrente i(t) para t > 0:\",i,\"A\")"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Resposta a um degrau de um circuito RL\n",
    "\n",
    "A resposta pode ser a\n",
    "soma da resposta transiente e a resposta em regime estacionário:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large i = i_t + i_{ss}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/is9rPEs.png)\n",
    "\n",
    "É sabido que a resposta transiente sempre é uma exponencial em queda, isto é:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large i_t = Ae^{-t / \\tau}}\n",
    "\\\\{\\Large \\tau = \\frac{L}{R} }\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "A resposta em regime estacionário é o valor da corrente um bom tempo depois\n",
    "de a chave da Figura 7.48a ser fechada. Consequentemente, a resposta em regime estacionário\n",
    "fica:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large i_{ss} = \\frac{V_S}{R}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "Façamos que I0 seja\n",
    "a corrente inicial pelo indutor, que pode provir de uma fonte que não seja Vs.\n",
    "Uma vez que a corrente pelo indutor não pode mudar instantaneamente:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large i(0^+) = i(0^-) = i(0)}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "Assim, obtemos:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large i(t) = \\frac{V_S}{R} + (I_0 - \\frac{V_S}{R})e^{-t / \\tau}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "Que pode ser escrita como:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large i(t) = i(\\infty) + [i(0) - i(\\infty)]e^{-t / \\tau}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/yQL4hw5.png)\n",
    "\n",
    "Portanto,\n",
    "determinar a resposta a um degrau de um circuito RL requer três coisas:\n",
    "\n",
    "1. A corrente inicial i(0) no indutor em t = 0\n",
    "2. A corrente final no indutor i(∞)\n",
    "3. A constante de tempo τ\n",
    "\n",
    "Novamente, se a mudança ocorrer em t = t0 em vez de t = 0, temos:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large i(t) = i(\\infty) + [i(t_0) - i(\\infty)]e^{-(t-t_0) / \\tau}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/tzXPt3u.png)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Exemplo 7.12**\n",
    "\n",
    "Determine i(t) no circuito da Figura 7.51 para t > 0. Suponha que a chave tenha sido\n",
    "fechada há um bom tempo.\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/x5U9iau.png)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Exemplo 7.12\n",
      "Corrente i(t) para t > 0: 2.0 + 3.0*exp(-15.0*t) A\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Exemplo 7.12\")\n",
    "\n",
    "from sympy import *\n",
    "\n",
    "L = 1/3\n",
    "Vs = 10\n",
    "\n",
    "t = symbols('t') #transforma t em uma variavel (sympy)\n",
    "\n",
    "#Para t < 0\n",
    "i0 = Vs/2\n",
    "\n",
    "#Para t > 0\n",
    "R = 2 + 3\n",
    "tau = L/R\n",
    "i_f = Vs/R\n",
    "i = i_f + (i0 - i_f)*exp(-t/tau)\n",
    "\n",
    "print(\"Corrente i(t) para t > 0:\",i,\"A\")"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Problema Prático 7.12**\n",
    "\n",
    "A chave na Figura 7.52 foi fechada por um longo tempo, sendo aberta em t = 0. Determine\n",
    "i(t) para t > 0.\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/tRAx6ZX.png)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Problema Prático 7.12\n",
      "Corrente i(t) para t > 0: 4.0 + 2.0*exp(-10.0*t) A\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Problema Prático 7.12\")\n",
    "\n",
    "L = 1.5\n",
    "Cs = 6\n",
    "\n",
    "#Para t <0\n",
    "i0 = Cs\n",
    "\n",
    "#Para t > 0\n",
    "i_f = Cs*10/(5 + 10)\n",
    "R = 5 + 10\n",
    "tau = L/R\n",
    "i = i_f + (i0 - i_f)*exp(-t/tau)\n",
    "\n",
    "print(\"Corrente i(t) para t > 0:\",i,\"A\")"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Exemplo 7.13**\n",
    "\n",
    "Em t = 0, a chave 1 na Figura 7.53 é fechada e a chave 2 é fechada 4 s depois. Determine\n",
    "i(t) para t > 0. Calcule i para t = 2 s e t = 5 s.\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/w8xNMbd.png)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 7,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Exemplo 7.13\n",
      "Corrente i0 para t < 0: 0 A\n",
      "Corrente i(t) para 0 < t < 4: 4.0 - 4.0*exp(-2.0*t) A\n",
      "Corrente i(t) para t > 4: 2.72727272727273 + 1.27138542221566*exp(-1.46666666666667*t) A\n",
      "Corrente i(2): 3.92673744444506 A\n",
      "Corrente i(5): 3.02057267619623 A\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Exemplo 7.13\")\n",
    "\n",
    "L = 5\n",
    "V1 = 40\n",
    "V2 = 10\n",
    "\n",
    "#Para t < 0\n",
    "i0 = 0\n",
    "print(\"Corrente i0 para t < 0:\",i0,\"A\")\n",
    "\n",
    "#Para 0 < t < 4\n",
    "R = 4 + 6\n",
    "i_f = V1/R\n",
    "tau = L/R\n",
    "i = i_f + (i0 - i_f)*exp(-t/tau)\n",
    "print(\"Corrente i(t) para 0 < t < 4:\",i,\"A\")\n",
    "\n",
    "i2 = i.subs(t,2)\n",
    "\n",
    "#Para t > 4\n",
    "i0 = i.subs(t,4)\n",
    "R2 = (4*6)/(4+6) + 2 # resistencia equivalente vista pela fonte 10V\n",
    "iv2 = V2/R2 * 4/(4 + 6)#corrente causada pela fonte 10V\n",
    "R1 = (2*6)/(2 + 6) + 4 # req vista pela fonte 40V\n",
    "iv1 = V1/R1 * 2/(2 + 6) #corrente causada pela fonte 40V\n",
    "i_f = iv1 + iv2\n",
    "R = (4*2)/(4 + 2) + 6 #req vista pelo indutor\n",
    "tau = L/R\n",
    "i = i_f + (i0 - i_f)*exp(-t/tau)\n",
    "print(\"Corrente i(t) para t > 4:\",i,\"A\")\n",
    "\n",
    "i5 = i.subs(t,1)\n",
    "\n",
    "print(\"Corrente i(2):\",i2,\"A\")\n",
    "print(\"Corrente i(5):\",i5,\"A\")"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Problema Prático 7.13**\n",
    "\n",
    "A chave S1 da Figura 7.54 é fechada em t = 0 e a chave S2 é fechada em t = 2 s. Calcule i(t) para qualquer t. Determine i (1) e i (3).\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/r37hkYC.png)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 11,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Problema Prático 7.13\n",
      "Corrente i para t < 0: 0 A\n",
      "Corrente i(t) para 0 < t < 2: 2.0 - 2.0*exp(-9.0*t) A\n",
      "Corrente i(t) para t > 2: 3.6 - 1.60000003045996*exp(-5.0*t) A\n",
      "Corrente i(1) 1.99975318039183 A\n",
      "Corrente i(3) 3.58921928459623 A\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Problema Prático 7.13\")\n",
    "\n",
    "Cs = 6\n",
    "L = 5\n",
    "\n",
    "#Para t < 0\n",
    "i0 = 0\n",
    "print(\"Corrente i para t < 0:\",i0,\"A\")\n",
    "\n",
    "#Para 0 < t < 2\n",
    "R = 15 + 10 + 20\n",
    "tau = L/R\n",
    "i_f = Cs*15/R\n",
    "i = i_f + (i0 - i_f)*exp(-t/tau)\n",
    "print(\"Corrente i(t) para 0 < t < 2:\",i,\"A\")\n",
    "\n",
    "i1 = i.subs(t,1)\n",
    "\n",
    "#Para t > 2\n",
    "i0 = i.subs(t,2)\n",
    "R = 15 + 10\n",
    "tau = L/R\n",
    "i_f = Cs*15/R\n",
    "i = i_f + (i0 - i_f)*exp(-t/tau)\n",
    "print(\"Corrente i(t) para t > 2:\",i,\"A\")\n",
    "\n",
    "i3 = i.subs(t,1)\n",
    "\n",
    "print(\"Corrente i(1)\",i1,\"A\")\n",
    "print(\"Corrente i(3)\",i3,\"A\")"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Resumo\n",
    "\n",
    "**1.** Um circuito é de primeira ordem, pois seu comportamento é descrito por uma **equação diferencial de primeira ordem**. Ao analisar circuitos RC e RL, sempre se deve ter em mente que o **capacitor é um circuito aberto em condições de regime estacionário CC**, enquanto o **indutor é um curto-circuito em condições de regime estacionário CC**.\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "\\\\\n",
    "\\\\\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "**2.** A resposta natural é obtida quando não há nenhuma fonte independente. Ela apresenta a forma geral:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large x(t) = x(0)e^{-t/ \\tau}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "onde x representa a corrente (ou tensão) através de um resistor, capacitor ou indutor, e x(0) é o valor inicial de x.\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "\\\\\n",
    "\\\\\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "**3.** A constante de tempo τ é o tempo necessário para uma resposta de decaimento para 1/e de seu valor inicial. Para circuitos RC, τ = RC e para circuitos RL, τ = L/R.\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "\\\\\n",
    "\\\\\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "**4.** Entre as funções de singularidade, temos as funções degrau unitário, rampa unitária e impulso unitário. \n",
    "\n",
    "**A função degrau unitário u(t) é:**\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large u(t) =\n",
    "\\begin{cases}\n",
    "0, & t < 0\n",
    "\\\\1, & t > 0\n",
    "\\end{cases}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "**A função impulso unitário é:**\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large \\delta(t) =\n",
    "\\begin{cases}\n",
    "0, & t < 0\n",
    "\\\\Indefinido, & t = 0\n",
    "\\\\0, & t > 0\n",
    "\\end{cases}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "**A função rampa unitária é**\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large r(t) =\n",
    "\\begin{cases}\n",
    "0, & t \\le 0\n",
    "\\\\t, & t \\ge 0\n",
    "\\end{cases}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "\\\\\n",
    "\\\\\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "**5.** Resposta em regime estacionário é o comportamento do circuito após uma fonte independente ter sido aplicada por um longo período. A resposta transiente é a componente da resposta completa que se extingue com o passar do tempo.\n",
    "\n",
    "**6.** A resposta total ou completa é formada pela resposta em regime estacionário e pela resposta transiente.\n",
    "\n",
    "**7.** Determinar a resposta a um degrau de um circuito de primeira ordem requer o valor inicial x(0+), o valor final x()\n",
    "e a constante de tempo t. De posse desses três itens, obtemos a resposta a um degrau, como segue:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large x(t) = x(\\infty) + [x(0) - x(\\infty)]e^{-t/ \\tau}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "Uma forma mais genérica dessa equação é:\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\Large x(t) = x(\\infty) + [x(t_0^+) - x(\\infty)]e^{-(t - t_0) / \\tau}}\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "Ou poderíamos escrevê-la como:\n",
    "\n",
    "![](https://i.imgur.com/kySqPNM.png)"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.5.3"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 2
}